La conjetura de Poincaré establece que cualquier espacio geométrico sin bordes de cuatro o más dimensiones, que tiene unas condiciones específicas, es igual a una esfera. Sin embargo, este planteamiento pasó décadas sin ser probado, por la gran dificultad que representaba. Ninguna de las grandes mentes del siglo XX logró demostrarlo. Con la llegada del nuevo milenio, la hipótesis de Poincaré se convirtió en uno de los grandes problemas matemáticos del mundo y fue entonces, cuando, de forma inesperada, pudo ser resuelto
Conjetura de Poincaré: qué es y cuáles son sus aplicaciones
La conjetura de Poincaré o teoría de Poincaré, es un problema matemático de la topología, ciencia que estudia el racionamiento numérico y que fue propuesto en el año 1904, por el experto Jules Henry Poincaré. Durante más de un siglo se mantuvo sin solución, por lo que fue catalogado como uno de los problemas matemáticos del milenio.
Conjetura: definición de la hipótesis de Poincaré
El problema de Poincaré habla sobre la topología de las esferas, y afirma que toda esfera tridimensional, sin un agujero, es equivalente a una esfera estándar en tres dimensiones. En palabras más simples, esta hipótesis dice que una figura tridimensional, como un balón de fútbol, puede ser convertida en una esfera perfecta sin cortarla, ni pegarla.
Conjetura de Poincaré enunciado
Una vez aclarada la definición de conjetura de Poincaré, es importante conocer cuál es su enunciado. Este problema matemático dice que: la esfera S3 es la única variedad de dimensión tercera cerrada simplemente conexa. En términos más específicos se trata del hecho que: “Toda 3-variedad cerrada y simplemente conexa es homeomorfa a la 3-esfera”. La fórmula de la conjetura de Poincaré es: H0(X) ∼ = H3(X) ∼ = Z, y Hn(X) ∼ = 0 si n ≥ 3.
Conjetura de Poincaré: aplicaciones
La hipótesis de Poincaré tuvo gran impacto en el estudio de la geometría y la topología, y se ha aplicado en diversas ramas de la ciencia, lo que condujo al desarrollo de nuevas técnicas y herramientas de análisis. A continuación, se presentan algunas de sus aplicaciones más conocidas:
- La geometría diferencial: la hipótesis de Poincaré se convirtió en una de las principales motivaciones para que los matemáticos profundizaran los estudios de la geometría. Esto condujo al desarrollo de nuevas herramientas para el análisis de las propiedades geométricas y topológicas de las variedades.
- La física matemática: esta hipótesis también ha sido empleada para el estudio de las propiedades topológicas de los denominados sistemas dinámicos. Igualmente, se aplicó en famosas teorías como la cuántica de campos y la teoría del caos.
- La teoría de nudos: la conjetura de Poincaré ha permitido estudiar esta teoría, que se centra en la investigación de formas cerradas en el espacio de tres dimensiones. La teoría de Poincaré permitió identificar y clasificar los nudos, y sus propiedades topológicas.
- La criptografía: la hipótesis de Poincaré también tuvo un gran impacto en esta rama de las ciencias. Hizo posible el desarrollo de algoritmos seguros de cifrado y de técnicas de creación de claves criptográficas seguras, que son usadas por diversas compañías de tecnología en todo el mundo.
- La inteligencia artificial: la resolución del problema matemático brindó la posibilidad de crear los algoritmos que utilizan las diversas compañías tecnológicas para las redes sociales y la inteligencia artificial. Estos algoritmos se basaron en técnicas y herramientas que fueron desarrolladas en lo que se conoce como geometría diferencial, criptografía y la topología, a partir de la hipótesis de Poincaré.
La historia de la hipótesis de Poincaré
Como se explicó anteriormente, la hipótesis de Poincare es un problema matemático que fue planteado por Henri Poincaré a principios del siglo XX, y del que de plano no hubo solución, si no hasta un siglo más tarde. Pero antes de conocer más sobre cómo se planteó esta hipótesis, es importante saber quién fue su creador.
Henri Poincaré: biografía
Jules Henri Poincaré fue un filósofo, físico, y matemático francés, considerado como el último universalista, debido a que podía contribuir con sus conocimientos en todas las áreas de las matemáticas. Estudió en prestigiosas instituciones como la École Polytechnique y la École des Mines. También ejerció como docente en la Universidad de París. Poincaré realizó grandes aportes en el desarrollo de la teoría de la relatividad, y por supuesto, planteó el famoso problema matemático que lleva su nombre.
Origen y evolución de la conjetura de Poincaré
La conjetura de Poincaré es el perfecto ejemplo para entender el concepto de hipótesis en geometría. Básicamente, es un enunciado cuya demostración precede a un teorema. Y esto fue lo que hizo el científico francés con su planteamiento en 1904.
En el siglo XIX, se empleó el concepto de homeomorfismo para clasificar variedades en el espacio. A partir de diversos estudios, se determinó que solamente existe una variedad de dimensión n=2, cerrada y simplemente conexa, y no es otra que la esfera. Basándose en esa premisa, Poincaré presentó la teoría de que el resultado obtenido para la esfera n=2 en la dimensión 3 sería similar para la esfera n=3 en la dimensión 4.
El problema se presentó cuando el reconocido científico no puedo probar su hipótesis. Durante cien años, ninguno de los colegas de Poincaré ni sus sucesores logró resolver este problema matemático. En 1961 se logró probar el mismo planteamiento para n=5 y n=7. En 1962 para n=6 y n=4 se resolvió en 1986. Sin embargo, la teoría de la n=3 de Poincaré tuvo que esperar un siglo, hasta que Grigori Perelmán consiguió una hazaña que se pensó imposible.
La conjetura de Poincaré resuelta
La solución de la conjetura de Poincaré pareció imposible durante mucho tiempo, por esta razón fue nombrada como uno de los siete problemas matemáticos de milenio. Entonces, ¿quién resolvió la hipótesis de Poincaré?, y ¿en qué año se resuelve?
La respuesta al problema de Poincaré es obra de Perelman Grigori, un matemático ruso. El año en que fue resuelto fue en 2002. En ese momento, Perelmán usó el flujo de Ricci, que fue descubierto por Richard Hamilton en 1981, para probar la conjetura.
El flujo de Ricci es un proceso mediante el cual se puede deformar una variedad, que es un tipo de objeto matemático. Para comprenderlo de manera simple, lo ideal es imaginar que se le está dando forma a un trozo de plastilina, tal y como se hacía en la escuela, hasta convertirlo en una esfera.
La prueba de la hipótesis de Poincaré
El flujo de Ricci, lleva a cabo un proceso parecido con las variedades, estirándolas de maneras particulares, a las que se les conoce como singularidades. Perelmán y Hamilton utilizaron una técnica llamada “cirugía”, que consiste en cortar las variedades de las singularidades.
Tras esto, modificaron las partes cortadas y las hicieron similares a una esfera. Este punto fue crucial en la prueba, debido a que permitió demostrar cómo se compartan las variedades cuando son deformadas mediante el flujo de Ricci.
Pero antes de cortar las singularidades, Grigori se enfocó en comprenderlas mejor. Para ello empleó un concepto conocido como “valores propios”. Estos permiten entender cómo funciona una variedad, mientras los valores aumentan, las variedades se deforman. De esta manera, el científico ruso logró descartar singularidades complicadas.
La prueba de Hamilton Perelman permitió demostrar que, al deformar variedades de tres dimensiones de manera continua, en algún momento se obtendrá un grupo de esferas tridimensionales. Asimismo, mediante volviendo a unir las esferas resultantes, se probó que la variedad deformada seguía siendo una esfera.
Además, para asegurarse de que no debía hacer cortes infinitos para llegar a este resultado, Perelmán usó otro concepto, el de las “superficies mínimas”. El mismo, asegura que estas superficies son una especie de películas de jabón y que a medida que se cortan se hacen tan diminutas que al final solo se pueden cortar esferas.
Demostración de la conjetura de Poincaré
En junio de 2006, Cao Huaidong y Zhu Xiping, dieron a conocer que se había culminado la demostración de la conjetura de Poincaré, basándose en la prueba de Perelmán. Los científicos chinos publicaron sus trabajos en varias revistas especializadas, y fueron evaluados por la comunidad matemática de todo el mundo, quienes validaron los resultados. Fue de esta manera como se logró obtener la clasificación de todas las estructuras topologías tridimensionales.
Grigori Perelman y la hipótesis de Poincaré
Grigori Perelmán, un matemático ruso, nació el 13 de junio de 1966 en Leningrado. Sus padres, Jacob Perelmán y Lyubov Leybovna Steingolts, le inculcaron el interés por la geometría y las matemáticas.
Como Grigori fue un estudiante muy destacado, ingresó a la facultad de matemáticas y mecánica de la Universidad Estatal de Leningrado, sin presentar ningún tipo de prueba. En una oportunidad, ganó las olimpiadas de matemáticas de la universidad y también recibió una beca por sus excelentes calificaciones, hasta que finalmente se graduó con honores.
Tras su graduación, empezó a trabajar en diversas universidades del país como investigador, hasta que, en 1996, se dedicó únicamente a la prueba de la conjetura de Poincaré. Entre el 2002 y 2003, Perelmán compartió en la web tres de sus famosos estudios, en donde describió el método para probar la conjetura.
Los estudios fueron: “Fórmula de entropía para el flujo de Ricci y sus aplicaciones geométricas”, “Flujo de Ricci con cirugía en variedades tridimensionales” y “Tiempo de decadencia finito para las soluciones de flujo Ricci en algunas variedades tridimensionales”.
La publicación del primer estudio causó conmoción entre los científicos. Grigori describió, en su primer artículo, una demostración de la hipótesis de geometrización de Thurston, cuyo resultado incluye la conjetura de Poincaré como un caso particular. Luego, Perelmán aceptó una invitación para dar más detalles sobre su trabajo referente a la hipótesis de Poincaré.
El matemático viajó a Estados Unidos donde explicó sus ideas y métodos en diversas conferencias. Al regresar a Rusia, también tuvo que responder la dudas de muchos de sus colegas a través de correos electrónicos.
Posteriormente, un grupo de matemáticos procedieron a verificar los resultados de Perelman y la hipótesis matemática, y determinaron que la hipótesis de Poincaré era 100 % correcta y estaba aprobada.
Tras haber demostrado que, con la hipótesis de geometrización de Thurston, pudo resolver la conjetura de Poincaré, que era considerado como uno de los problemas más importantes y difíciles del área de las matemáticas, Grigori renunció al cargo que tenía como investigador líder en un laboratorio y no tuvo más contacto con sus colegas.
Luego, en 2006, Grigori fue nominado a recibir la Medalla Fields2, por los aportes que hizo en el área de la geometría. Este es el mayor reconocimiento que le pueden dar a un matemático. Pero él rechazó el premio y tampoco quiso asistir al Congreso Internacional de Matemáticos.
A pesar de que muchos titulares reseñaron “Perelman resuelve la hipótesis imposible” y que los especialistas en el área, quisieron darle el reconocimiento que merecía, este hombre no aceptó recibir ningún reconocimiento, solo se quedó con la satisfacción personal de haber descifrado un problema que estuvo sin respuesta durante muchos años.
Grigori Perelmán rechaza el premio y se retira de la academia
La fundación Clay Mathematics Institute de Cambridge creo el año 2000 los premios del milenio, para reconocer la labor que hacen profesionales en el área de las matemáticas. Por ese motivo, en marzo de 2010, el instituto informó que Grigori Perelmán había cumplido con todos los requisitos para recibir el premio de los problemas del milenio de un millón de dólares, tras haberse convertido el matemático que resolvió el problema del siglo, que era la conjetura de Poincaré.
No obstante, el famoso matemático ruso rechazó el premio, alegando que no quería estar expuesto ante las personas, que no se consideraba un héroe matemático y que tampoco era tan exitoso. Además, Grigori señaló que consideraba injusto que le dieran ese reconocimiento debido a que su trabajo no era mayor del que había hecho su colega Richard Hamilton.
Perelmán decidió retirarse de la academia y llevar una vida de anonimato. Algunas fuentes han señalado que el hombre vive con su madre en un pequeño apartamento, que presuntamente no cuenta con las mejores medidas sanitarias.
Problemas del milenio sin resolver
La fundación Clay Mathematics Institute de Cambridge, ofreció, hace más de 20 años, el premio de un millón de dólares a la persona que fuera capaz de resolver siete problemas de las matemáticas. Hasta el momento, solo Grigori Perelmán pudo resolver uno de ellos. A continuación, se detallan cuáles son los seis problemas sin resolver:
P frente a NP
Este planteamiento fue propuesto por Alan Turing, Stephen Cook y Leonid Levin y está relacionado con el mundo informático. Este problema busca resolver el tiempo que se tardan en resolver los conflictos que fueron catalogados como P y NP.
El término de P hace referencia a los problemas informáticos que pueden ser resueltos en poco tiempo. Mientras que el NP, son aquellos que pueden tardar hasta años en conseguir la respuesta o que necesitan de muchos recursos para resolverlo. Este problema sigue abierto al debate, esperando por la persona que va a determinar cuál es la solución al planteamiento.
Conjetura de Hodge
La conjetura de Hodge fue planteada por William Hodge en 1950 y se debate entre la geometría algebraica y la diferencial. Aquí se busca hallar la respuesta de cómo se puede acercar la forma de un objeto que fue construido con bloques simples. Pero no se ha definido mediante cuál técnica se puede llevar a cabo. Por eso los matemáticos esperan que se pueda presentar una solución pronto, para poder determinar el resultado final de lo que es la conjetura de Hodge.
Hipótesis de Riemann
Este problema trata sobre la distribución de los números primos, en el grupo de los naturales. Bernhard Riemann fue quien propuso esta hipótesis en el año 1859 y por eso lleva su nombre.
El matemático alemán sostuvo que la distribución de los números primos tiene relación con el comportamiento de la función zeta de Riemann. Esta función está conformada por dos tipos de ceros. Unos que fueron denominados como triviales y otros que se conocen como no triviales.
La conjetura de Bernhard señala que los ceros no triviales se hallan en la recta x = ½. Hasta el momento no hay un experto que haya podido resolver este planteamiento y darle la razón al matemático, o, por el contrario, demostrar que su estudio no es el correcto.
Ecuaciones de Navier-Stokes
Las ecuaciones llamadas de Navier-Stokes fueron llamadas así en memoria de Claude-Louis Navier y George Gabriel Stokes, quienes las plantearon en 1882. Estas son descritas como el movimiento que tiene una especie de fluido conocido como Newtonianos. Estas ecuaciones permiten estudiar el flujo que se encuentra alrededor de los aviones, vehículos y proyectiles, entre otros.
Esta ecuación entra en los problemas del milenio, debido a que todavía no se ha determinado cómo es el proceso de transformación del flujo turbulento a uno laminar. Se dice que con la fórmula se debería determinar el movimiento del flujo desde el inicio. La persona que lo logré descubrir, pasaría a la historia, como lo hizo el famoso Grigori Perelmán, con la conjetura de Poincaré.
Conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer
Entre las conjeturas sin resolver se encuentra la presentada por Peter Swinerton-Dyer y Bryan Birch en 1965, aunque esta ya había sido propuesta en un manuscrito árabe anteriormente. Estos matemáticos describieron las soluciones a las ecuaciones que definen a lo que se conoce como curva elíptica.
Estas curvas se clasifican en dos tipos, la que son del género 0, denominadas como curvas racionales y que tener solución o no. Y las de género 1, que son las curvas elípticas. Este tipo tiene solución, independientemente de que sea un número infinito o finito. Los que se busca con esta hipótesis es hallar la manera en que se distinguen las curvas.
Yang-Mills y el salto de masa
La hipótesis de Yang-Mills fue la que dio origen a lo que se conoce como teoría de las partículas elementales de la materia. En el ámbito cuántico se describen a las partículas sin masa. No obstante, es importante destacar que hay experimentos que han demostrado que existe un fenómeno conocido como salto de masa que no puede ser visto en el mundo real, pero sí se ha demostrado en el cuántico.
Lo que se busca con este problema es encontrar la manera de determinar si las partículas de esta teoría tienen masa o no. Explicar de forma clara esté fenómeno que solo puede observado en el mundo de la cuántica, porque, según la teoría cuántica, hay masas positivas que viajan a la velocidad de la luz. Y es necesario conocer si esas interacciones tienen salto de masa o no.
Para poder resolver algunos de los problemas matemáticos del milenio, los expertos deben estudiar arduamente durante muchos años y saber lo que es conjetura, línea conexa, y muchos otros términos relacionados con las ciencias. Gracias a su gran inteligencia y preparación, Grigori Perelmán logró dar respuesta a la conjetura de Poincaré.
La resolución de este planteamiento, de 1904, tuvo un gran impacto en las matemáticas, puras y aplicadas. Además, permitió desarrollar nuevas líneas de investigación en áreas como la geometría diferencial, la inteligencia artificial y la teoría de nudos, entre otras. La importancia de la hipótesis de Poincaré reside en todos estos avances que solo pueden ser logrados a través del trabajo duro.
Finalmente, se puede decir que la conjetura de Poincaré es el perfecto ejemplo de cómo los problemas del mundo de las matemáticas pueden ser realmente desafiantes y requerir de mucho tiempo para poder ser resueltos. Pero la hipótesis de Poincaré, también es la prueba de que, si se trabaja con disciplina y perseverancia, hasta los problemas que parecen imposibles, tienen solución. Por estas razones, la teoría planteada por este científico francés hace más de 100 años, se ha convertido en un ejemplo de inspiración para todos los matemáticos del mundo que se laboran en el área de investigación.